Primos gemelos

Por Adrián Paenza

Muchas veces escucho o leo que la matemática tiene todo inventado o descubierto. Pocas cosas están más lejos de la realidad. Hay muchísimos problemas.

Algunos son ciertamente muy complicados incluso de enunciar. Otros, en cambio, son fáciles de contar, pero muy muy difíciles de resolver. O, al menos, eso parece, si uno tiene en cuenta que varios de ellos llevan cientos de años sin solución. Y hasta hay premios de un millón de dólares para quien los resuelva.

Para entender el que voy a contar ahora, sólo hace falta conocer las operaciones elementales de suma, resta, producto y división entre números naturales: {1, 2, 3, 4, 5, ... }, y también saber lo que es un número primo.

Por las dudas, escribo acá la definición de lo que es un número primo: “Un número natural se dice que es un número primo si sólo es divisible por 1 y por él mismo” (hace falta excluir al propio número 1, que no se considera primo).

Por ejemplo, el 2 es un número primo, ya que sólo es divisible por 1 y por 2.

El 3 es un número primo, ya que sólo es divisible por 1 y por 3.

En cambio el 4 no es primo, ya que es divisible por 1, 2 y 4. Es decir, además del 1 y del 4, es divisible por 2. Luego, no es primo.

Sigo un poquito más. El 5 es primo, el 6 no es primo (ya que es divisible por 2 y por 3, además de 1 y de 6), el 7 es primo, el 8 no, el 9 tampoco, el 10 tampoco, el 11 sí, y así siguiendo uno puede analizar, dado un número cualquiera, si es primo o no.

En principio, todos los primos son impares (salvo el 2), porque todos los otros pares son divisibles por 2 además de por 1 y por sí mismos. Entonces, para que un número sea primo, salvo el 2, tiene que ser impar.

Bueno, ahora estoy en condiciones de plantear una conjetura o un problema.

Primos gemelos

Así como hay números primos, hay primos que se llaman gemelos. Se conoce con ese nombre a dos primos que si bien no son consecutivos sólo dejan un número en el medio. Como ya habrán notado (con la excepción del par 2, 3) no puede haber primos consecutivos porque salvo el 2, como ya dijimos, no existe ningún otro primo par.

Por ejemplo,

3 y 5 son primos gemelos,

5 y 7 son primos gemelos,

11 y 13 son primos gemelos,

17 y 19 también,

29 y 31 también, etc. (*)

La pregunta es: ¿hay infinitas parejas de primos gemelos? Se puede demostrar (lo hizo Euclides hace muchos años) que hay infinitos números primos. Eso está bien. Se sabe. Pero lo que no se sabe es si hay... infinitos primos gemelos.

En enero del año 2007, se reportó el par de primos gemelos más grandes que se conoce hasta hoy (diciembre de 2008).

Antes de escribirlo, quiero recordar que elevar un número a la potencia enésima, es multiplicarlo por él mismo n veces.

Por ejemplo:

82 = 64 = 8 x 8

103 = 1000 = 10 x 10 x 10

157 = 170.859.375 = 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 15

Ahora sí, puedo escribir el par de primos gemelos más grande que se conoce hasta hoy:

(2.003.663.613 x 2195.000) - 1

y

(2.003.663.613 x 2195.000) + 1

Los dejo a ustedes buscando más, y tratando de probar que hay infinitas de esas parejas.

* Nota: algunos pares más de primos gemelos:

(41 y 43), (59 y 61), (71 y 73), (101 y 103), (107 y 109), (137 y 139), (149 y 151), (179 y 181), (191 y 193), (197 y 199), (227 y 229), (239 y 241), (281 y 283).

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